一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是______．
2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝________.
3．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)＝__________.
4．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是________．
5．化简：的结果为______．
6．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.
7．若函数f(x)＝sin(x＋)＋asin(x－)的一条对称轴方程为x＝，则a＝________.
8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是______．
9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于______．
10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为________．
11．若cos ＝，sin ＝－，则角θ的终边一定落在直线________上．
12．若0<α<<β<π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α＝________.
13．函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．
14．使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在[－，0]上为减函数的所有θ的集合为______．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos(2α－)的值．
16．(14分)已知函数f(x)＝2cos xsin x＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
17．(14分)已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(cos ，－sin )，且x∈[－，]．
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
18．(16分)已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．
(1)求角B；
(2)求sin(B＋θ)．
19．(16分)已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且
m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f(α＋)＝，求的值．
20．(16分)已知函数f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
第3章 三角恒等变换(B)
1.
解析 ∵f(x)＝[1－cos(4x－)]
＝－sin 4x
∴T＝＝.
2．1
解析 原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.
3.
解析 ∵α∈(，π)，sin α＝，
∴cos α＝－，
tan α＝＝－.
∴tan(α＋)＝＝＝.
4．[－，0]
解析 f(x)＝sin x－cos x＝2sin(x－)．
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
令k＝0得－≤x≤.
由此可得[－，0]符合题意．
5.
解析 原式＝
＝＝sin 60°＝.
6．1
解析 ∵sin αcos β＝1，
∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1，
∴cos α＝sin β＝0.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.
7.
解析 f(x)＝sin(x＋)－asin(－x)
＝sin(x＋)－acos(＋x)
＝sin(x＋－φ)
∴f()＝sin ＋asin
＝a＋＝.
解得a＝.
8.
解析 y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin(2x－)＋，
∵x∈R，
∴－1≤sin(2x－)≤1，
∴y∈[－＋，＋]．
9.
解析 ∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝.
cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ
＝
＝＝＝.
10．－4
解析 3cos(2α＋β)＋5cos β
＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0，
∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，
∴tan(α＋β)tan α＝－4.
11．24x－7y＝0
解析 cos ＝，sin ＝－，tan ＝－，
∴tan θ＝＝＝.
∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．
12.
解析 cos β＝－，sin β＝，
sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，
故cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝(－)×(－)＋×＝.
13．1
解析 令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，
∴y＝sin α＋cos(α＋30°)
＝sin α＋cos αcos 30°－sin αsin 30°
＝sin α＋cos α
＝sin(α＋60°)．
∴ymax＝1.
14.
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sin θ＋cos θ＝0.
∴tan θ＝－.∴θ＝kπ－，(k∈Z)．
∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋)
＝2sin(2x＋kπ)．
当k为偶数时，f(x)＝2sin 2x，不合题意；
当k为奇数时，f(x)＝－2sin 2x，
函数在上为减函数．
∴f(x)＝－2sin 2x，∴θ＝＋2kπ，k∈Z.
15．解 (1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)
⇒cos α＝－，α∈(0，π)⇒sin α＝.
＝＝－.
(2)∵cos α＝－，sin α＝⇒sin 2α＝－，
cos 2α＝－.
cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
16．解 (1)原式＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)
＝2(sin 2xcos ＋cos 2xsin )
＝2sin(2x＋)．
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.
当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.
(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
17．解 (1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，
|a＋b|＝
＝＝2|cos x|，
∵x∈[－，]，∴cos x>0，
∴|a＋b|＝2cos x.
(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1
＝2(cos x－)2－.
∵x∈[－，]．∴≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，f(x)取得最小值－；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.
18．解 (1)2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0，即4cos2B－8cos B＋3＝0，得cos B＝.
又B为△ABC的内角，∴B＝60°.
(2)∵cos θ＝＝－，
∴sin θ＝.
∴sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.
19．解 (1)由题意，得m·n＝0，所以
f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，所以f(α＋)＝sin(α＋)＋＝cos α＋＝.
解得cos α＝.
因为α是第一象限角，故sin α＝.
所以＝＝＝＝－.
20．解 (1)因为f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(＋φ)(0<φ<π)，
所以f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ
＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ
＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ)
＝cos(2x－φ)．
又函数图象过点(，)，所以＝cos(2×－φ)，
即cos(－φ)＝1，
又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，
因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈[－，]，
故－≤cos(4x－)≤1.
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.
